Пособие по физике. Геометрические фигуры

расстояние l , равное 15 см.

Тема 2. Принцип суперпозиции для полей, создаваемых точечными зарядами

11. В вершинах правильного шестиугольника в вакууме расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найдите напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Сторона шестиугольника a = 3 см, величина каждого заряда q

1,5 нКл.

12. В однородном поле с напряженностью E 0 = 40 кВ/м находится заряд q = 27 нКл. Найдите напряженность E результирующего поля на расстоянии r = 9 см от заряда в точках: а) лежащих на силовой линии, проходящей через заряд; б) лежащих на прямой, проходящей через заряд перпендикулярно силовым линиям.

13. Точечные заряды q 1 = 30 нКл и q 2 = − 20 нКл находятся в

диэлектрической среде с ε = 2,5 на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определите напряженность электрического поля Е в точке, удаленной от первого заряда на расстояние r 1 = 30 см, а от второго − на r 2 = 15 см.

14. Ромб составлен из двух равносторонних треугольников со

стороной a = 0,2 м. В вершинах при острых углах помещены заряды q 1 = q 2 = 6·10−8 Кл. В вершине одного тупого угла помещен заряд q 3 =

= −8·10 −8 Кл. Найдите напряженность электрического поля E в четвертой вершине. Заряды находятся в вакууме.

15. Одинаковые по величине, но разные по знаку заряды q 1 = q 2 =

1,8·10 −8 Кл расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 0,2 м. Найдите напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника. Заряды находятся в вакууме.

16. В трех вершинах квадрата со стороной a = 0,4 м в

диэлектрической среде с ε = 1,6 находятся заряды q 1 = q 2 = q 3 = 5·10−6 Кл. Найдите напряженность E в четвертой вершине.

17. Заряды q 1 = 7,5 нКл и q 2 = −14,7 нКл расположены в вакууме на расстоянии d = 5 см друг от друга. Найдите напряженность электрического поля в точке на расстоянии r 1 = 3 см от положительного заряда и r 2 = 4 см от отрицательного заряда.

18. Два точечных заряда q 1 = 2q и q 2 = − 3 q находятся на расстоянии d друг от друга. Найдите положение точки, в которой напряженность поля E равна нулю.

19. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной

a = 0,3 м в диэлектрической среде с ε = 1,5 находятся заряды величиной q 1 = q 2 = 2·10−7 Кл. Найдите напряженность E и потенциал электрического поля ϕ в двух других вершинах квадрата.

20. Найдите напряженность электрического поля E в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q 1 = 8·10–9 Кл и q 2 = = 6·10–9 Кл, расположенными в вакууме на расстоянии r = 12 см, в случае а) одноименных зарядов; б) разноименных зарядов.

Тема 3. Принцип суперпозиции для полей, создаваемых распределенным зарядом

21. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд q = 0,1 мкКл. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в вакууме

в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от его конца.

22. Тонкий стержень длиной l = 20 см равномерно заряжен с

линейной плотностью τ = 0,1 мкКл/м. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в диэлектрической среде с ε = 1,9 в точке А, лежащей на прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, на расстоянии а = 20 см от центра стержня.

23. Тонкое кольцо несет распределенный заряд q = 0,2 мкКл. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в вакууме в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см. Радиус кольца R = 10 см.

24. Бесконечный тонкий стержень, ограниченный с одной стороны, несет равномерно распределенный заряд с линейной

плотностью τ = 0,5 мкКл/м. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в вакууме в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от его начала.

25. По тонкому кольцу радиусом R = 20 см равномерно распределен с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м заряд. Определите

максимальное значение напряженности Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в диэлектрической среде с ε = 2, на оси кольца.

26. Прямая тонкая проволока длиной l = 1 м несет равномерно распределенный заряд. Вычислите линейную плотность τ заряда, если напряженность поля Е в вакууме в точке А, лежащей на прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его середину, на расстоянии a = 0,5 м от ее середины равна E = 200 В/м.

27. Расстояние между двумя тонкими бесконечными стержнями, расположенными параллельно друг другу, d = 16 см. Стержни

равномерно заряжены с линейной плотностью τ = 15 нКл/м и находятся в диэлектрической среде с ε = 2,2. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенными зарядами в точке А, удаленной на расстояние r = 10 см от обоих стержней.

28. Тонкий стержень длиной l = 10 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 0,4 мкКл. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в вакууме в точке А, лежащей на прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через один из его концов, на расстоянии а = 8 см от этого конца.

29. По тонкому полукольцу радиуса R = 10 см равномерно

распределен заряд с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в вакууме в точке А, совпадающей с центром кольца.

30. Две трети тонкого кольца радиусом R = 10 см несут равномерно распределенный с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м заряд. Определите напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в вакууме в точке О, совпадающей с центром кольца.

Тема 4. Теорема Гаусса

концентрических

радиусом R и 2R , находящихся в вакууме,

равномерно

распределены

поверхностными плотностями σ1 = σ2 = σ. (рис.

2R 31). Используя

теорему Гаусса,

зависимость напряженности электрического поля E (r ) от расстояния для областей I, II, III. Постройте график E (r ) .

32. Смотрите условие задачи 31. Принять σ1 = σ, σ2 = − σ.

33. Смотрите

Принять σ1 = −4 σ, σ2 = σ.

34. Смотрите

Принять σ1 = −2 σ, σ2 = σ.

35. Ha двух бесконечных параллельных

плоскостях,

находящихся

равномерно

распределены

поверхностными плотностями σ1 = 2σ и σ2 = σ

(рис. 32). Используя теорему Гаусса и принцип

суперпозиции электрических полей, найдите выражение Е(х) напряженности электрического поля для областей I, II, III. Постройте

график Е(х).

36. Смотрите

чи 35. Принять σ1 = −4 σ, σ2 = 2σ.

37. Смотрите

σ 2 σ

чи 35. Принять σ1 = σ, σ2 = − σ.

коаксиальных

бесконечных

цилиндрах

III II

радиусами R и 2R , находящихся в

равномерно

распределены

поверхностными

плотностями

σ1 = −2 σ, и

= σ (рис. 33).

Используя теорему Гаусса, найдите

зависимость E (r ) напряженности электрического поля от расстояния для

39. 1 = − σ, σ2 = σ.

40. Смотрите условие задачи 38. Принять σ 1 = − σ, σ2 = 2σ.

Тема 5. Потенциал и разность потенциалов. Работа сил электростатического поля

41. Два точечных заряда q 1 = 6 мкКл и q 2 = 3 мкКл находятся в диэлектрической среде с ε = 3,3 на расстоянии d = 60 см друг от друга.

Какую работу необходимо совершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?

42. Тонкий диск радиуса r равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ. Найдите потенциал электрического поля в вакууме в точке, лежащей на оси диска на расстоянии а от него.

43. Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд q =

= 6 нКл из точки, находящейся на расстоянии a 1 = 0,5 м от поверхности шара, в точку, находящуюся на расстоянии a 2 = 0,1 м от

его поверхности? Радиус шара R = 5 см, потенциал шара ϕ = 200 В.

44. Восемь одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала ϕ 1 = 10 В, сливаются в одну. Каков потенциал ϕ образовавшейся капли?

45. Тонкий стержень длиной l = 50 см согнут в кольцо. Он

равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ = 800 нКл/м и находится в среде с диэлектрической проницаемостью с ε = 1,4. Определите потенциал ϕ в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии d = 10 см от его центра.

46. Поле в вакууме образовано точечным диполем с электрическим моментом р = 200 пКл·м. Определите разность потенциалов U двух точек поля, расположенных симметрично относительно диполя на его оси на расстоянии r = 40 см от центра диполя.

47. Электрическое поле образовано в вакууме бесконечно

длинной заряженной нитью, линейная плотность заряда которой τ = = 20 пКл/м. Определите разность потенциалов двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии r 1 = 8 см и r 2 = 12 см.

48. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные

плотности заряда которых σ1 = 2 мкКл/м2 и σ2 = − 0,8 мкКл/м2 , находятся в диэлектрической среде с ε = 3 на расстоянии d = 0,6 см друг от друга. Определите разность потенциалов U между плоскостями.

49. Тонкая квадратная рамка расположена в вакууме и

равномерно заряжена с линейной плотностью заряда τ = 200 пКл/м. Определите потенциал ϕ поля в точке пересечения диагоналей.

50. Два электрических заряда q 1 = q и q 2 = −2 q расположены на расстоянии l = 6a друг от друга. Найдите геометрическое место точек на плоскости, в которой лежат эти заряды, где потенциал создаваемого ими электрического поля равен нулю.

Тема 6. Движение заряженных тел в электростатическом поле

51. На сколько изменится кинетическая энергия заряженного шарика массой m = 1 г и зарядом q 1 = 1 нКл при его движении в вакууме под действием поля точечного заряда q 2 = 1 мкКл из точки, удаленной на r 1 = 3 см от этого заряда в точку, отстоящую на r 2 =

= 10 см от него? Чему равна конечная скорость шарика, если начальная скорость равна υ 0 = 0,5 м/с?

52. Электрон со скоростью υ 0 = 1,6·106 м/с влетел в перпендикулярное скорости электрическое поле с напряженностью E

= 90 В/см. Какое расстояние от точки влета пролетит электрон, когда

его скорость составит угол α = 45° с начальным направлением?

53. Электрон с энергией К = 400 эВ (в бесконечности) движется

в вакууме вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом R = 10 см. Определите минимальное расстояние а, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если ее заряд q = − 10 нКл.

54. Электрон, пройдя в плоском воздушном конденсаторе путь

от одной пластины до другой, приобрел скорость υ = 105 м/с. Расстояние между пластинами d = 8 мм. Найдите: 1) разность потенциалов U между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда σ на пластинах.

55. Бесконечная плоскость находится в вакууме и заряжена равномерно с поверхностной плотностью σ = − 35,4 нКл/м2 . По направлению силовых линий электрического поля, созданного плоскостью, движется электрон. Определите минимальное расстояние l min , на которое может подойти к этой плоскости электрон, если на расстоянии l 0 =

= 10 см от плоскости он имел кинетическую энергию К = 80 эВ.

56. Какой минимальной скоростью υ min должен обладать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного металлического шара радиусом R = 10 см, двигаясь из точки, находящейся на

расстоянии а = 30 см от центра шара? Потенциал шара ϕ = 400 В.

57. В однородное электрическое поле напряженностью Е =

= 200 В/м влетает (вдоль силовой линии) электрон со скоростью υ 0 =

= 2 Мм/с. Определите расстояние l , которое пройдет электрон до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.

58. Протон со скоростью υ 0 = 6·105 м/с влетел в перпендикулярное скорости υ0 однородное электрическое поле с

напряженностью

E = 100 В/м. На какое расстояние от начального направления движения сместится электрон, когда его скорость υ составит угол α = 60° с этим направлением? Чему равна разность потенциалов между точкой входа в поле и этой точкой?

59. Электрон влетает в однородное электрическое поле в направлении, противоположном направлению силовых линий. В некоторой точке поля с потенциалом ϕ1 = 100 В электрон имел скорость υ0 = 2 Мм/c. Определите потенциал ϕ2 точки поля, в которой скорость электрона будет в три раза больше начальной. Какой путь пройдет электрон, если напряженность электрического поля Е =

5·10 4 В/м?

60. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор длиной

l = 5 см со скоростью υ0 = 4·107 м/с, направленной параллельно пластинам. Конденсатор заряжен до напряжения U = 400 В. Расстояние между пластинами d = 1 см. Найдите смещение электрона, вызванное полем конденсатора, направление и величину его скорости в момент вылета?

Тема 7. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия электрического поля

61. Конденсаторы емкостью C 1 = 10 мкФ и С2 = 8 мкФ заряжены до напряжений U 1 = 60 В и U 2 = 100 В соответственно. Определите напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды.

62. Два плоских конденсатора емкостями С 1 = 1 мкФ и С2 =

= 8 мкФ соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 50 В. Найдите разность потенциалов между пластинами конденсаторов, если после отключения от источника напряжения расстояние между пластинами первого конденсатора уменьшили в 2 раза.

63. Плоский воздушный конденсатор зарядили до напряжения U = 180 В и отключили от источника напряжения. Каким станет напряжение между обкладками, если расстояние между ними увеличить от d 1 = 5 мм до d 2 = 12 мм? Найдите работу A по

раздвижению пластин и плотность w е энергии электрического поля до и после раздвижения пластин. Площадь пластин S = 175 см2 .

64. Два конденсатора емкостями C 1 = 2 мкФ и С2 = 5 мкФ заряжены до напряжений U 1 = 100 В и U 2 = 150 В соответственно.

Определите напряжение U на обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими разноименные заряды.

65. Металлический шар радиусом R 1 = 10 см заряжен до потенциала ϕ1 = 150 В, его окружает концентрическая проводящая незаряженная оболочка радиусом R 2 = 15 см. Чему станет равен потенциал шара ϕ, если заземлить оболочку? Соединить шар с оболочкой проводником?

66. Емкость плоского конденсатора C = 600 пФ. Диэлектрик − стекло с диэлектрической проницаемостью ε = 6. Конденсатор зарядили до U = 300 В и отключили от источника напряжения. Какую работу надо выполнить, чтобы пластину диэлектрика вынуть из конденсатора?

67. Конденсаторы емкостью С 1 = 4 мкФ, заряженный до U 1 =

= 600 В, и емкостью С 2 = 2 мкФ, заряженный до U 2 = 200 В, соединили одноименно заряженными обкладками. Найдите энергию

W проскочившей искры.

68. Два металлических шарика радиусами R 1 = 5 см и R 2 = 10 см имеют заряды q 1 = 40 нКл и q 2 = − 20 нКл соответственно. Найдите

энергию W , которая выделится при разряде, если шары соединить проводником.

69. Заряженный шар радиусом R 1 = 3 см приводится в соприкосновение с незаряженным шаром радиусом R 2 = 5 см. После того как шарики разъединили, энергия второго шарика оказалась равной W 2 =

= 0,4 Дж. Какой заряд q 1 был на первом шарике до соприкосновения?

70. Конденсаторы с емкостями C 1 = 1 мкФ, C 2 = 2 мкФ и C 3 =

= 3 мкФ подключены к источнику напряжения U = 220 В. Определите энергию W каждого конденсатора в случае их последовательного и параллельного включения.

Тема 8. Постоянный электрический ток. Законы Ома. Работа и мощность тока

71. В цепь, состоящую из аккумулятора и резистора сопротивлением R = 10 Ом, включают вольтметр сначала последовательно, затем параллельно сопротивлению R . Показания вольтметра в обоих случаях одинаковы. Сопротивление вольтметра R V

10 3 Ом. Найдите внутреннее сопротивление аккумулятора r .

72. ЭДС источника ε = 100 В, внутреннее сопротивление r =

= 5 Ом. К источнику подключили резистор сопротивлением R 1 = 100 Ом. Параллельно ему подсоединили конденсатор с последовательно

соединенным с ним другим резистором сопротивлением R 2 = 200 Ом. Заряд на конденсаторе оказался q = 10−6 Кл. Определите емкость конденсатора C .

73. От батареи, ЭДС которой ε = 600 В, требуется передать энергию на расстояние l = 1 км. Потребляемая мощность Р = 5 кВт. Найдите минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов d = 0,5 см.

74. При силе тока I 1 = 3 А во внешней цепи батареи выделяется мощность P 1 = 18 Вт, при токе I 2 = 1 А – P 2 = 10 Вт. Определите силу тока I к.з короткого замыкания источника ЭДС.

75. ЭДС батареи ε = 24 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея I max = 10 А. Определите максимальную мощность Рmax , которая может выделяться во внешней цепи.

76. В конце зарядки аккумулятора вольтметр, который подключен к его полюсам, показывает напряжение U 1 = 12 В. Сила тока зарядки I 1 = 4 А. В начале разрядки аккумулятора при силе тока I 2

= 5 А вольтметр показывает напряжение U 2 = 11,8 В. Определите электродвижущую силу ε и внутреннее сопротивление r аккумулятора.

77. От генератора, ЭДС которого ε = 220 В, требуется передать энергию на расстояние l = 2,5 км. Мощность потребителя P = 10 кВт. Найдите минимальное сечение проводящих медных проводов d min , если потери мощности в сети не должны превышать 5% мощности потребителя.

78. Электродвигатель питается от сети с напряжением U = = 220 В. Чему равна мощность двигателя и его КПД при протекании по его обмотке тока I 1 = 2 А, если при полном торможении якоря по цепи идет ток I 2 = 5 А?

79. В сеть с напряжением U = 100 В подключили катушку с сопротивлением R 1 = 2 кОм и вольтметр, соединенные последовательно. Показание вольтметра U 1 = 80 В. Когда катушку заменили другой, вольтметр показал U 2 = 60 В. Определите сопротивление R 2 другой катушки.

80. Батарея с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r замкнута на внешнее сопротивление R . Наибольшая мощность, выделяющаяся

во внешней цепи, равна P max = 9 Вт. При этом течет ток I = 3 А. Найдите ЭДС батареи ε и ее внутреннее сопротивление r .

Тема 9. Правила Кирхгофа

81. Два источника тока (ε 1 = 8 В, r 1 = 2 Ом; ε 2 = 6 В, r 2 = 1,6 Ом)

и реостат (R = 10 Ом) соединены, как показано на рис. 34. Вычислите силу тока, текущего через реостат.

ε1 ,

ε2 ,

82. Определите силу тока в сопротивлении R 3 (рис. 35) и напряжение на концах этого сопротивления, если ε 1 = 4 В, ε 2 = 3 В,

одинаковыми внутренними сопротивлениями, равными r 1 = r 2 = r 3 = 1 Ом, соединены между собой одноименными полюсами. Сопротивление соединительных проводов ничтожно мало. Каковы силы токов, текущих через батареи?

ε 1, r 1

εr 1

ε 2, r 2

ε 2, r 2

1. В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВ/м, силовые линии которого составляют с вертикалью угол 30°, висит на нити шарик массой 2 г, а заряд равен 3,3 нКл. Определите силу натяжения нити.

2. Ромб составлен из двух равносторонних треугольников со стороной, длина которой равна 0,2 м. В вершинах при острых углах ромба помещены одинаковые положительные заряды по 6⋅10 -7 Кл. В вершине при одном из тупых углов помещен отрицательный заряд 8⋅10 -7 Кл. Определите напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба. (ответ в кВ/м)
= 0.95*elStat2_2){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить

3. Какой угол α с вертикалью составит нить, на которой висит шарик массой 25 мг, если поместить шарик в горизонтальное однородное электрическое ноле с напряженностью 35 В/м, сообщив ему заряд 7 мкКл?
= 0.95*elStat2_3){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить

4. Четыре одинаковых заряда по 40 мкКл расположены в вершинах квадрата со стороной а = 2 м. Какова будет напряженность поля на расстоянии 2а от центра квадрата на продолжении диагонали? (ответ в кВ/м)
= 0.95*elStat2_4){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить

5. Два заряженных шарика с массами 0,2 г и 0,8 г, обладающих зарядами 3⋅10 -7 Кл и 2⋅10 -7 Кл соответственно, соединены легкой непроводящей нитью длиной 20 см и движутся вдоль силовой линии однородного электрического поля. Напряженность поля равна 10 4 Н/Кл и направлена вертикально вниз. Определите ускорение шариков и натяжение нити (в мН).
= 0.95*elStat2_5_1){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить ускорение = 0.95*elStat2_5_2){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить силу

6. На рисунке изображен вектор напряженности электрического поля в точке С; поле создано двумя точечными зарядами q A и q B . Чему примерно равен заряд q B , если заряд q A равен +2 мкКл? Ответ выразите в микрокулонах (мкКл).
= 1.05*elStat2_6 & otvet_ проверить

7. Пылинка, имеющая положительный заряд 10 -11 Кл и массу 10 -6 кг, влетела в однородное электрическое поле вдоль его силовых линий с начальной скоростью 0,1 м/с и переместилась на расстояние 4 см. Какой стала скорость пылинки, если напряженность поля 10 5 В/м?
= 0.95*elStat2_7){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить

8. Точечный заряд q, помещенный в начало координат, создает в точке A (см. рисунок) электростатическое поле напряженностью E 1 = 65 В/м. Определите значение модуля напряженности поля E 2 в точке С.
= 0.95*elStat2_8){alert("Верно!")} else{alert("Неверно:(")}">проверить

Нахождение:

1. Сумма 4-х внутренних углов ромба равняется 360°, точно так же как и у всякого четырехугольника. Противоположные углы ромба имеют одинаковую величину, причем, всегда в 1-ой паре равных углов — углы острые, во второй - тупые. 2 угла, которые прилегают к 1-ной стороне в сумме составляют развернутый угол .

Ромбы с равным размером стороны могут внешне довольно сильно отличаться друг от друга. Это разница объясняется различной величиной внутренних углов. То есть, для определения угла ромба не хватит знать лишь длину его стороны.

2. Для вычисления величины углов ромба хватит знать длины диагоналей ромба . После построения диагоналей ромб разбивается на 4 треугольника . Диагонали ромба располагаются под прямым углом, то есть, треугольники, которые образовались, оказываются прямоугольными.

Ромб — симметричная фигура, его диагонали есть в одно время и осями симметрии, вот почему каждый внутренний треугольник равен остальным. Острые углы треугольников, которые образованы диагоналями ромба, равняются ½ искомых углов ромба.

Основы > Задачи и ответы > Электрическое поле

Напряженность электрического поля


1 На каком расстоянии r от точечного заряда q = 0,1 нКл, находящегося в дистиллированной воде (диэлектрическая проницаемость e = 81), напряженность электрического поля E=0,25 В/м?

Решение:
Напряженность электрического поля, создаваемая точечным зарядом,
отсюда

2 В центре проводящей сферы помещен точечный заряд q=10 нКл. Внутренний и внешний радиусы сферы r=10см и R = 20см. Найти напряженности электрического поля у внутренней (Е1) и внешней (Е2) поверхностей сферы.

Решение:
Заряд q, находящийся в центре сферы, индуцирует на внутренней поверхности сферы заряд – q, а на внешней поверхности – заряд +q. Индуцированные заряды ввиду симметрии распределены равномерно. Электрическое поле у внешней поверхности сферы совпадает с полем точечного заряда, равного сумме всех зарядов (находящегося в центре и индуцированных), т. е. с полем точечного заряда q. Следовательно,

Заряды, распределенные равномерно по сфере, внутри этой сферы электрического поля не создают. Поэтому внутри сферы поле будет создаваться лишь зарядом, помещенным в центре. Следовательно,

3 Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды |q| = 18 нКл расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной а=2 м. Найти напряженность электрического поля Е в третьей вершине треугольника.

Решение:

Напряженность электрического поля Е в третьей вершине треугольника (в точке А) является векторной суммой напряженностей Е1 и Е2, создаваемых в этой точке положительным и отрицательным зарядами. Эти напряженности равны по модулю: , и направлены под углом 2 a = 120 ° друг к другу. Результирующая этих напряженностей равна по модулю
(рис. 333), параллельна линии, соединяющей заряды, и направлена в сторону отрицательного заряда.

4 В вершинах при острых углах ромба, составленного из двух равносторонних треугольников со стороной а, помещены одинаковые положительные заряды q1 =q2 =q. В вершине при одном из тупых углов ромба помещен положительный заряд Q. Найти напряженность электрического поля Е в четвертой вершине ромба.

Решение:

Напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба (в точке А) является векторной суммой напряженностей (рис. 334), создаваемых в этой точке зарядами q1, q2 и Q: Е=Е1+Е2+Е3. По модулю напряженности
причем направления напряженностей E1 и Е2 составляют с направлением напряженности Е3 одинаковые углы a = 60°. Результирующая напряженность направлена вдоль короткой диагонали ромба от заряда Q и равна по модулю

5 Решить предыдущую задачу, если заряд Q отрицателен, в случаях, когда: a) |Q|q.

Решение:
Напряженности электрического поля E1, Е2 и Е3, создаваемые зарядами q1, q2 и Q в заданной точке, имеют модули, найденные в задаче 4 , однако напряженность Е3 направлена в противоположную сторону, т. е. к заряду Q. Таким образом, направления напряженностей E1, Е2 и E3 составляют между собой углы 2 a =120 ° . а) При |Q|

и направлена вдоль короткой диагонали ромба от заряда Q; б) при |Q|= q напряженность E=0; в) при |Q|>q напряженность

и направлена вдоль короткой диагонали ромба к заряду Q.

6 Диагонали ромба d1=96cм и d2 = 32 см. На концах длинной диагонали расположены точечные заряды q1=64 нКл и q2 = 352 нКл, на концах короткой – точечные заряды q3=8 нКл и q4=40 нКл. Найти модуль и направление (относительно короткой диагонали) напряженности электрического поля в центре ромба.

Решение:
Напряженности электрического поля в центре ромба, создаваемые соответственно зарядами q1, q2, q3 и q4,
Напряженность в центре ромба
Угол a между направлением этой напряженности и короткой диагональю ромба определяется выражением

7 Какой угол a с вертикалью составит нить, на которой висит шарик массы m = 25 мг, если поместить шарик в горизонтальное однородное электрическое поле с напряженностью E=35 В/м, сообщив ему заряд q = 7 мкКл?

Решение:

На шарик действуют: сила тяжести mg, сила F=qE со стороны электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 335). При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю:

8 Шарик массы m = 0,1 г закреплен на нити, длина которой l велика по сравнению с размерами шарика. Шарику сообщают заряд q=10 нКл и помещают в однородное электрическое поле с напряженностью E, направленной вверх. С каким периодом будет колебаться шарик, если сила, действующая на него со стороны электрического поля, больше силы тяжести (F>mg)? Какой должна быть напряженность поля E, чтобы шарик колебался с периодом ?

Решение:

На шарик действуют: сила тяжести mg и сила F=qE со стороны электрического поля, направленная вверх. Так как по условию F>mg, то при равновесии шарик Рис. 336 будет находиться у верхнего конца вертикально натянутой нити (рис. 336). Равнодействующая сил F и mg, если бы шарик был свободен, вызывала бы ускорение a=qE/m–g, которое, так же как и ускорение свободного падения g, не зависит от положения шарика. Поэтому поведение шарика будет описываться теми же формулами, что и поведение шарика под действием силы тяжести без электрического поля (при прочих равных условиях), если только в этих формулах g заменить на а. В частности, период колебаний шарика на нити
При Т = Т 0 должно выполняться условие a=g. Следовательно, E=2mg/q =196 кВ/м.

9 Шарик массы m = 1 г подвешен на нити длины l=36 см. Как изменится период колебаний шарика, если, сообщив ему положительный или отрицательный заряд |q| = 20 нКл, поместить шарик в однородное электрическое поле с напряженностью E=100кВ/м, направленной вниз?

Решение:
При наличии однородного электрического поля с напряженностью Е, направленной вниз, период колебаний шарика (см. задачу 8 )
В отсутствие электрического поля

Для положительного заряда q период Т2 = 1,10с, а для отрицательного Т2=1,35с. Таким образом, изменения периода в первом и втором случаях будут T1–Т0=- 0,10с и Т2-Т0=0,15с.

10 В однородном электрическом поле с напряженностью E=1 МВ/м, направленной под углом a = 30° к вертикали, висит на нити шарик массы m = 2 г, несущий заряд q= 10 нКл. Найти силу натяжения нити Т.

Решение:

На шарик действуют: сила тяжести mg, сила F=qE со стороны электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 337). Возможны два случая: а) напряженность поля направлена вниз: б) напряженность поля направлена вверх. При равновесии шарика
где знак плюс относится к случаю а), а знак минус – к случаю б); b – угол между направлением нити и вертикально. Исключая из этих уравнений b , найдем

При этом: а) T=28,7 мН, б) T=12,0 мН.

11 Электрон движется в направлении однородного электрического поля с напряженностью E=120 В/м. Какое расстояние пролетит электрон до полной потери скорости, если его начальная скорость u = 1000 км/с? За какое время будет пройдено это расстояние?

Решение:
Электрон в поле движется равнозамедленно. Пройденный путь s и время t, за которое он проходит этот путь, определяются соотношениями
где Кл/кг – удельный заряд электрона (отношение заряда электрона к его массе).

12 Пучок катодных лучей, направленный параллельно обкладкам плоского конденсатора, на пути l=4см отклоняется на расстояние h = 2 мм от первоначального направления. Какую скорость u и кинетическую энергию К имеют электроны катодного луча в момент влета в конденсатор? Напряженность электрического поля внутри конденсатора E=22,5 кВ/м.

Решение:

На электрон при его движении между пластинами конденсатора действует сила F=eE со стороны электрического поля. Эта сила направлена перпендикулярно к пластинам в сторону, противоположную направлению напряженности, так как заряд электрона отрицателен (рис. 338). Силой тяжести mg, действующей на электрон, можно пренебречь по сравнению с силой F. Таким образом, в направлении, параллельном пластинам, электрон движется равномерно со скоростью u , имевшейся у него до того, как он влетел в конденсатор, и пролетает расстояние l за время t=l/ u . В направлении же, перпендикулярном к пластинам, электрон движется под действием силы F и, следовательно, имеет ускорение a = F/m = eE/m; за время t он смещается в этом направлении на расстояние
отсюда